Lernhelden Gmbh
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Grundvorstellungen von Zahlen und Rechenoperationen als notwendige Voraussetzung für den Erwerb mathematischer Basiskompetenzen

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Lerntherapeutin

Für einen Professor:in der Methodik und Didaktik der Mathematik oder einen Mathematiklehrer:in der Grundschule ist es unerlässlich, einerseits über ein methodisch-didaktisches Wissen und andererseits über umfangreiche fachspezifische Kenntnisse zu verfügen. Deshalb ist es aus unserer Sicht selbstverständlich, dass Lerntherapeuten:innen im Rahmen der von ihnen praktizierten Rechentherapie oder Dyskalkulieförderung sich umfassendes Spezialwissen zur allgemeinen Entwicklung der Zahlverarbeitung und Rechenleistung (kurz: Entwicklung mathematischer Kompetenzen) sowie der Erkennung (Diagnostik) und Behandlung (Förderung / Intervention / Therapie) der entsprechenden Störungsbilder aneignen und aktuell auch halten.

Warum müssen Kinder tragfähige Grundvorstellungen zu den natürlichen zahlen und rechenoperationen aufbauen? 

Gute Rechenfertigkeiten sind in unsere Gesellschaft ein Muss: in der Schule, beim Einkaufen, Einparken oder beim gerechten Verteilen von Luftballons beim Kindergeburtstag, sodass man sagen kann, dass ein verständnisvoller Umgang mit den natürlichen Zahlen entscheidend auf den entsprechenden subjektiven Vorstellungen beruht, die man zu Zahlen korrekt oder fehlerhaft entwickelt hat.

Rechenschwierigkeiten entstehen ganz oft dadurch, dass vom Schüler:innen subjektiv generierte Grundvorstellungen nicht mit den objektiven Zahl- und/oder -Rechenoperationskriterien übereinstimmen und gerade im Rahmen der Fördermaßnahmen in der Lerntherapie in besonderem Maße interveniert werden muss. Ziel ist es, dass Schüler:innen also Inhalte nicht einfach auf einer unverstandenen verbalen oder symbolischen Ebene auswendig gelernt „nachplappern“ können, sondern sich darunter etwas vorstellen können.

Aufbau von Grundvorstellungen zu mathematischen Termini

Mathematik als Abstraktion von konkreten Mengen- und Anzahlhandlungen verfolgt das Ziel, dass Schüler zu den jeweiligen erarbeiteten Begrifflichkeiten „objektive, tragfähige Grundvorstellungen“ entwickeln und sie somit den Begriffen inhaltliche Bedeutungen verleihen, um mit diesen anschließend verständnisvoll und nachvollziehbar handeln zu können. Das Verstehen mathematischer Inhalte ist das Ziel des schulischen Mathematikunterrichts – leider und in den Fällen, in denen heutiger Mathematikunterricht dieses Ziel verfehlt, „verkommt“ dieser dann zu einem sehr regellastigen, rein mechanischen Auswendiglernen! 

Durch Grundvorstellungen kann man die fachlichen Kriterien eines mathematischen Begriffs erfassen und in Bezug setzen zu konkreten, bereits bekannten Sach- und Handlungszusammenhängen, diese also mit Bedeutung versehen und um diese auch im Alltag immer wieder anwenden zu können. Es herrscht weitgehend Einigkeit darin, dass ohne den Aufbau mathematischer Grundvorstellungen die Voraussetzungen für das Verstehen mathematischer Inhalte nicht gegeben ist. 

Grundvorstellungen, die sich auch als gedankliche Werkzeuge zu Zahlen, Operationen oder Strategien verstehen lassen, schaffen damit quasi eine „Übersetzung“ zwischen den verschiedenen mathematischen Ebenen (vgl. Piaget/Aebli), etwa von der symbolischen Ebene hin zur ikonischen.

Noch einmal anders ausgedrückt: In unserer Lerntherapie regen wir den Erwerb mathematischer Begriffe und Verfahrensweisen dadurch an, indem mit den Kindern konkrete Handlungsabläufe an geeigneten Arbeits- und Anschauungsmaterialien zu gedanklichen Operationen umgebaut werden (die Kinder müssen sich die Handlung vorstellen bzw. vergegenwärtigen können), um in einem letzten Step die auf Handlungen bezogenen Vorstellungen dann später mit mathematischen Inhalten (Ziffern bzw. Symbolen) zu verknüpfen. Abschließend werden Automatisierungsübungen durchgeführt, soll heißen Aufbau von mathematischem Faktenwissen. Beispielsweise ist evident, dass die Rechenaufgabe 3 + 5 = 8 immer zum selben Ergebnis führt und um diese Aufgabe nicht immer wieder neu ausrechnen zu müssen, ist es das Ziel jeder Automatisierung ein Abspeichern und dadurch schnelles Abrufen diese „symbolischen Verknüpfung“. Dass ein bloßes Auswendiglernen ohne einen vorherigen Aufbau eines grundlegenden Verständnisses zu einer Art sinnlosen Übe-Drill ohne echten Nutzen verkommt, liegt klar auf der Hand.   

Zahl- und Anzahlvorstellung zu natürlichen Zahlen 

Das Zahlwort „vier“ oder „sechs“ verbinden Schüler:innen, die über intakte  Grundvorstellungen verfügen, gedanklich z. B. mit einer Zusammenfassung von vier bzw. sechs Dingen, so beispielsweise den vier Punkten auf einem Würfel (Würfelbild „vier“) oder   einer Gesamtanzahl bzw. -menge von sechs Äpfeln. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, dass weder die Art noch die Eigenschaft der Dinge relevant sind, sondern einzig deren Quantitäten. Zahlen repräsentieren eine präzise Anzahl innerhalb einer Menge bzw. Größe, die exakt und einzeln auszählbar sind – eine Zahl wird also verstanden als die Anzahl der Elemente einer Menge (= Kardinalzahlvorstellung). Die Anbahnung und der systematische Aufbau dieser spezifischen Grundvorstellung realisieren wir in unserer Dyskalkulietherapie z. B. durch den Einsatz des evidenzbasierten Förderprogramms „Mengen, zählen, Zahlen“ (MZZ; Krajewski, Nieding & Schneider 2007), indem wir mit abstrakten Veranschaulichungsmitteln (Stecksteine, Plättchen, Anzahlkarten, Zahlentreppe etc.) natürliche Zahlen „greif- und sichtbar zu machen und Antwort auf die Frage geben: „Wie viele (Dinge) sind es? (Anzahlangabe)“.

Zahl Anzahlkonzept
Zahl-Anzahlkonzept

Reihenfolgevorstellung / Seriation von natürlichen Zahlen  

Zahlen können aufgrund ihrer Mächtigkeit (Anzahl, Größe) miteinander verglichen werden und stellen, wenn man sie von wenig bis viel aufsteigend sortiert, eine Reihenfolge dar; eine Zahlenfolge ist demnach eine Folge aufsteigender Mengen bzw. Größen. So lassen sich ganz oft bestimmte Dinge oder Objekte anhand eines beliebigen Kriteriums in eine sinnvolle Reihenfolge bringen: beispielsweise, wenn man etwas nach der Größe, der Anzahl, der Dauer usw. sortieren kann.

Man stellt fest, dass man ein beliebiges weiteres Objekt immer an einer bestimmten Stelle einreihen kann. Zählt man z. B. „sieben, acht, neun, zehn“, so bedeutet die Neun in diesen Fall „der Neunte“ (im Unterschied zu „Neun“. Diese Bedeutung von Zahlen zur Kennzeichnung einer Position innerhalb einer geordneten Reihe führt zur Reihenfolgevorstellung (= Ordinalzahlvorstellung) und beantwortet die Frage: „Der wievielte?“ Die Beschreibung einer bestimmten Position in einer Reihe wird sprachlich meistens ausgedrückt mit Worten wie etwa „auf Platz Nummer 10“ oder „der Achte“.

Beide oben beschriebenen Grundvorstellungen zu den natürlichen Zahlen, also die ordinale und die kardinale sowie ein flexibler Wechsel zwischen beiden Vorstellungen sind essentiell für den Aufbau stabiler numerischer Einsichten und einen verständnisvollen Umgang mit Zahlen, sowohl gedanklich, als auch sprachlich.

Noch einmal: Wenn Schüler:innen etwa sieben Gegenstände der Reihe nach abzählen und dabei jedem Gegenstand eine Ziffer bzw. ein Zahlwort zuweisen (z. B. „eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben“), dann bezeichnet die „sieben“ basierend auf der Reihenfolgevorstellung zunächst den siebten Gegenstand. Sehr viel häufiger hingegen geht es aber um die Frage, wie viel ich von etwas habe.

Es muss dann ein gedanklicher Wechsel hin zur Anzahlvorstellung erfolgen, sodass es nicht darum geht, den siebten Gegenstand (der Reihe) zu benennen, sondern beim Durchzählen und Benennen des zuletzt genannten Zahlwortes „sieben“ gleichzeitig die Anzahl der gesamten Menge zu benennen. Die Anzahl „sieben“ umfasst also alle bis dahin angetippten / genannten Gegenstände.

Eine sehr beliebte und im Rahmen unserer Rechentherapie durchgeführten Übung sind die sog. Fingerbilder: „Zeigt mir bitte vier Finger!“ aber auch „Und jetzt bitte den vierten Finger an jeder Hand zeigen!“, usw.

Zahlenreihe
Zahlenreihe – Seriation

Die  Grundvorstellungen zu den vier Rechenoperationen auf Basis der Anzahlvorstellung

Basis für die Grundvorstellungen der vier Rechenoperationen mit Zahlen, sozusagen die Grundrechenarten, ist das Zahl-Anzahlkonzept (und weniger die Vorstellung einer geordneten Zahlenreihenfolge), aus welchem dann sog. Rechenstrategien begründbar und tragfähig abgeleitet werden können.

Die Addition

Die grundlegende Operationsvorstellung zur Addition soll am Beispiel der abstrakten Rechenaufgabe „3 + 7 = 10“ illustriert werden:

Dazu kann Grundvorstellung Nummer 1 herangezogen werden: Paul legt 3 Fußbälle in ein Ballnetz und Felix legt ebenfalls 7 Bälle dort hinein. Wie viele Fußbälle liegen jetzt zusammen in dem Ballnetz?

Auch denkbar wäre die Grundvorstellung Nummer 2: Paul hat Geburtstag und erhält am Vormittag 3 Geschenke und am Nachmittag noch einmal 7; am Abend fragt ihn dann sein Freund, wie viele Geschenke Paul insgesamt zu seinem Geburtstag erhalten hat.

Addieren wir demnach als „Hinzufügen“ oder „Zusammenfassen“ verstehbar.

Die abstrakte Rechenaufgabe „3 + 7 = 10“ wird durch die o. g. beiden Grundvorstellungen quasi konkretisiert und gibt der bloßen Rechnung eine inhaltliche Bedeutung und damit wiederum auch einen echten Sinn.

Grundvorstellung Addition (1)
Grundvorstellung Addition 

Die Subtraktion

Auch die Rechenoperation der Subtraktion, z. B. „10 – 4 = 6“, sollte bei den Schülern:innen auf jeden Fall zwei Grundvorstellungen generieren:

Die naheliegendste Vorstellung ist die des Wegnehmens, des Extrahierens einer Teilmenge (hier der 4 Einer) aus einer gegebenen Gesamtmenge (hier der 10 Einer). Beispielsweise befinden sich zunächst 10 Kinder in einem Swimmingpool, von denen 4 dieses wieder verlassen (da ihnen kalt geworden ist) – es verbleiben also noch 6 Kinder im Pool.

Oder aber hat Max 10 Negerküssen in einem Karton, von denen er jedoch 4 wieder abgeben muss und es verbleiben ihm demnach noch 6 „Küsse“. Der Wert der Differenz „10 – 4“ gibt jeweils an, wie viele von etwas nach der Wegnahme einer konkreten Menge noch übrigbleiben. 

Hier erleben wir in unserer Diagnostik immer wieder Kinder, die die o. g. Aufgabe mit Stecksteinen oder Plättchen auf enaktiver Ebene präsentieren sollen. Anstatt zunächst 10 Stecksteine auf den Tisch zu legen, von denen dann 4 weggenommen werde, sodass sichtbar 6 auf dem Tisch verbleiben, passiert folgendes: Die Kinder legen 10 Stecksteine vor sich auf den Tisch, legen dann 4 weitere Stecksteine rechts daneben und fragen uns dann, ob sie mit Bleistift das Minuszeichen und rechts daneben dann das Gleichheitszeichen auf die Tischplatte schreiben dürften, um abschießend noch 6 weitere Steine ganz rechts (als quasi „End-Ergebnis“ der Aufgabe – dazu später mehr) zu platzieren.

Hieran wird sehr schön deutlich, wie subjektive Algorithmen bzw. individuelle Fehlvorstellungen dazu führen, einen völlig falschen Lösungsweg darzustellen, der sachlogisch jeder Grundlage entbehrt bzw. überhaupt nicht erklärbar und verstehbar ist, denn plötzlich beträgt die Gesamtmenge an Steinen nicht mehr 10, sondern 20 (10 + 4 + 6) und die Ursprungsmenge an sichtbaren Stecksteinen nimmt nicht etwa ab, sondern zu. 

Eine zweite, mögliche Grundvorstellung zur Subtraktion ist die des Unterschieds bzw. des Vergleichens. Dazu folgendes Beispiel: Laurenz hat 20 Würfel, Maximilian nur 10. Wie viele Würfel hat Laurenz mehr, als Maximilian? Der Differenzwert „20 – 10“ gibt in diesem Beispiel ganz klar einen Unterschied an, d. h. wie viele es mehr sind, d. h. Laurenz hat 10 Würfel mehr als Maximilian und gleichzeitig auch die Umkehrung: Wenn Laurenz 10 Würfel mehr hat, dann muss Maximilian 10 Würfel weniger haben. Das „Mehr“ oder „Weniger“ ist also eindeutig quantifizierbar.

Eine mögliche dritte Grundvorstellung ist die des Ergänzens, d. h. wenn man von 10 Kugeln 8 wegnimmt, dann könnte man auch überlegen, wie viele Kugeln ich zu den vorhandenen 8 dazuzählen muss, um auf 10 zu kommen und erhalte somit das Ergebnis der eigentlichen Subtraktionsaufgabe. Alle Grundvorstellungen geben der o. g. Subtraktionsaufgabe eine inhaltliche Bedeutung und damit haben sie einen realitätsbezogenen Sinn.

Die Multiplikation

Grundvoraussetzung zum Verständnis des Malnehmens ist die Addition, da auf dieser (hierarchisch) aufgebaut wird. Mögliche Sachsituationen aus den Erfahrungswelten der Kinder (und dies zum Teil schon als Kindergartenkind) führen zur Entwicklung von zwei typischen Grundvorstellungen der Multiplikation, beispielsweise „5 ∙ 4 = 20“:

Grundvorstellung Nummer 1 verbindet die Multiplikation mit sog. zeitlich-sukzessiven Handlungen am konkreten Material. So wird fünf Mal eine bestimmte Handlung mit jeweils drei Dingen oder Objekten in gleicher Weise ausgeführt, die Handlung wird quasi vervielfacht. Dazu folgendes Beispiel:

Friedolin geht fünf Mal zum Kühlschrank und holt jeweils vier Eier heraus. Die Frage lautet: „Wie viele Eier hat Friedolin denn insgesamt aus dem Kühlschrank geholt?“

Eine andere Grundvorstellung verknüpft die Multiplikation visuell mit räumlich-simultanen Anordnungen von Objekten. Hierbei geht es nicht etwa um eine konkrete Handlung, sondern um Dinge, die in strukturierter Art und Weise vorgegeben sind.

Auf einem Tisch befinden sich 5 Glasschalen mit jeweils 4 Kugel drin. Wie viele Kugeln befinden sich insgesamt auf dem Tisch?

In unserer Rechen-Therapie bahnen wir das Thema Visualisierung der Multiplikation in dem Beispiel mit den Schalen und den Kugeln durch geschicktes Fragen („Wie oft, wie viele Mal siehst du die 4 Kugeln?“). Wir umkreisen dann mit unserem Finger die erste Schale und sagen: „Wir sehen die 4 Kugeln ein Mal“. Dann umkreisen wir die erste und gleichzeitig die zweite Schale und fragen: „Wie oft sehen wir jetzt 4 Kugeln? Wir sehen sie insgesamt zwei Mal usw.)“.

Als ebenfalls absolut brauchbares, wirklichkeitsgetreues und klar strukturiertes Visualisierungsmaterial sind z. B. Würfelbilder („Wie oft siehst du das Würfelbild der 4 auf dem Tisch?“) oder auch Kugeln Eis auf mehreren Eiswaffeln denkbar oder durch Verwendung von Eierkartons. Alternativ strukturiert eine gewünschte Menge an Magnetplättchen an der Tafel und erzeugt sog. Punktbilder bzw. auch auditiv-visuell im Rahmen von kleinen Lernspielen in der Pause: „Du darfst 3 x würfeln (3 x 1 = 3).

Wichtig ist, immer wieder neue und für die rechenschwachen Kinder für diese verstehbare Handlungsvorstellungen zu wiederholen, die ihnen als feste Stützpunkte für spätere Lösungsstrategien helfen können.

Wenn Kinder nun auch den Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation erkennen, weil sie in der Lage sind sich vorzustellen, dass man für 5 x 4 = 20 auch 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 sagen kann, was rechnerisch jedoch viel länger dauert und fehlerträchtiger ist, haben wir eine solide Grundvorstellung aufgebaut.

Ebenfalls bedeutsam ist in diesem Zusammenhang das Kommutativgesetz (Tauschaufgaben), das sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation Gültigkeit besitzt, aber es ein sehr wichtiger Unterschied ist, ob ich 5 Teller mit jeweils 4 Kugeln oder durch eine andere Anordnung 4 Teller mit jeweils 5 Kugeln entstehen: In beiden Fällen ergibt es in Summer immer 20 Kugeln.

Im Rahmen der zeitlich-sukzessiven Handlungen (Wiederholung gleicher Handlungen) ist das Kommutativgesetz der Multiplikation übrigens ausgeschlossen, denn die Handlung ist nicht ver- bzw. austauschbar! Nur bei der Darstellung strukturierter Mengen, wie z. B. Punktbilder lässt sich das Vertauschungsgesetz demonstrieren. Auf die Grundvorstellung des Kombinierens soll hier nicht näher eingegangen werden.

Grundvorstellung Multiplikation
Grundvorst. Multiplikation

Die Division

Als letzte Grundvorstellung, allerdings eine, mit der die meisten Kinder sogar schon seit des Kindergartens vertraut sind dürfte, nämlich das  Teilen (aufteilen oder verteilen) von Gegenständen, ist die Division, wie „15 : 5 = 3“. Hierbei lassen sich grundsätzlich zwei verschiedenen Grundvorstellungen zum Dividieren unterscheiden:

Die erste Grundvorstellung ist sich die des „Verteilens“: Es werden 10 Plätzchen auf 5 verschiedene Teller gleichmäßig verteilt, sodass kein Rest übrig bleibt – aus Sicht der Kinder ist dieser Vorgang fair und gerecht, denn jeder Teller verfügt nach dem Verteilen über gleich viele  Objekte. Die diesbezügliche Frage lautet: „Wie viele Plätzchen bekommt jeder Teller, also 2“?

Herbei werden also Dinge sozusagen gruppiert, da vorher bekannt ist, wie viele einzelne Gruppen (hier als Anschauungsmaterial die Teller) es gibt. Gefragt wird, wie groß dann jede einzelne Gruppe ist, was sich dann aus der Anzahl der ihr „zugeteilten“ Dinge resultiert.

Die zweite Grundvorstellung der Division ist die des „Aufteilens“. Ein Beispiel soll dies illustrieren: 10 Fußballspieler:innen sollen immer Fünfergruppen bilden – wie viele Gruppen entstehen dabei, natürlich, ohne dass ein Rest verbleibt?

Auch hier werden Dinge bzw. Objekte gruppiert, wobei vorab bekannt ist bzw. festgelegt wird, wie groß jede einzelne Gruppe ist. Gefragt wird, wie viele Gruppen es gibt. 

Abschließend: Auch mit Hilfe der Grundvorstellung einer Zahlenreihenfolge für natürliche Zahlen (Ordinalprinzip) können Grundvorstellungen zu den Grundrechenarten entwickelt werden. Beispielsweise kann man die Addition mit dem Vorwärtszählen in einer geordneten Reihe und dem wiederum die Subtraktion mit dem Rückwärtszählen gedanklich verknüpfen.


Es sei noch einmal betont, da es von enormer Wichtigkeit ist und bleibt:

  • Fundamentale Aufgabe des Erstklassenmathematikunterrichts ist es, solche Grundvorstellungen beim Schüler anzuregen und zu automatisieren.
  • Gelingt dies nicht besteht die Gefahr, dass solche Kinder rein mechanisch und ohne Verständnis für das, was sie tun versuchen, zu Lösungen zu gelangen.
  • Ein Scheitern auf breitester Front ist demzufolge vorprogrammiert und es gelingt teilweise erst Jahre später, solche fehlerhaften Grundvorstellungen zu diagnostizieren und dann bestmöglich zu korrigieren.

Nehmen Sie gerne Kontakt zu uns auf.